V mechanike tuhého telesa je moment zotrvačnosti fyzikálna veličina, ktorá charakterizuje mieru zotrvačných vlastností telesa pri otáčavom pohybe. Moment zotrvačnosti závisí od hmotnosti telesa a od rozloženia látky v telese. Jednotkou momentu zotrvačnosti je kg . m2.
Moment zotrvačnosti alebo moment inercie telesa je fyzikálna veličina, ktorá vystupuje pri skúmaní jeho otáčavého pohybu. Je mierou náročnosti uvedenia telesa do otáčavého pohybu vzhľadom na os rotácie. Označujeme ju väčšinou J (v staršej literatúre to je väčšinou I), jednotkou v SI je kg . m2.
Zjednodušene sa dá povedať, že moment zotrvačnosti vystupuje vo vzťahoch pre otáčavý pohyb tam, kde vo vzťahoch pre posuvný pohyb vystupuje hmotnosť. Takže popri kinetickej energii posuvného pohybu Ek = ½mv2 je kinetická energia rotačného pohybu Ek = ½Jω2 (ω je uhlová rýchlosť otáčavého pohybu, ktorá nahradila rýchlosť posuvného pohybu v). Podobne popri hybnosti posuvného pohybu p = mv sa stretávame s momentom hybnosti telesa konajúceho otáčavý pohyb, ktorý sa vypočíta vzťahom L = Jω. V neposlednom rade namiesto Newtonovho zákona pre posuvný pohyb máme pre otáčavý pohyb tzv. druhý impulzový zákon: M = Jε (ε je uhlové zrýchlenie).
Úlohou momentu zotrvačnosti je za pomoci vzťahu Ek = ½Jω2 vyjadrovať kinetickú energiu otáčavého pohybu telesa. Táto kinetická energia otáčavého pohybu však nie je nič iné než súčet kinetických energií všetkých malých kúskov, na ktoré si skúmané teleso môžeme v mysli rozdeliť. Každú z nich pritom môžeme vypočítať pomocou vzťahu Ek = ½mivi2, kde mi je hmotnosť daného malého kúska a vi je jeho rýchlosť (malosť kúska je tu potrebná na to, aby sme mohli považovať rýchlosť všetkých jeho častí za približne rovnakú - pri otáčavom pohybe sa totiž časti telesa rôzne vzdialené od osi otáčania pohybujú rôznymi rýchlosťami). Rýchlosť každého kúska závisí od jeho vzdialenosti od osi otáčania podľa vzťahu vi = ωri. Takýmto jednoduchým sčítaním sme sa od vzťahov pre kinetickú energiu posuvného pohybu dostali k vzťahu pre otáčavý pohyb, kde namiesto rýchlosti vystupuje uhlová rýchlosť ω.
Problém tu spočíva v tom, že telesá majú spojito rozloženú hmotnosť. Preto nie je možné ich rozdeliť na malý počet "malých častí" (spomeňme si, prečo bola tá malosť častí taká dôležitá) a jednoducho sčítať podľa predchádzajúceho vzťahu. Jedno teleso však predsa len zvládneme aj z hlavy - je ním tenká obruč s polomerom r a hmotnosťou m, ktorá sa otáča okolo osi kolmej na jej rovinu a prechádzajúcej stredom obruče. V tom prípade má totiž celá obruč rovnakú vzdialenosť od osi otáčania rovnú r, nepotrebujeme ju preto vôbec deliť a priamo môžeme napísať J = mr2.
Ak chceme vypočítať moment zotrvačnosti telesa vzhľadom na os neprechádzajúcu ťažiskom, pričom poznáme moment zotrvačnosti vzhľadom na s ňou rovnobežnú os, ktorá ťažiskom prechádza, môžeme si pomôcť Steinerovou vetou.
Ideálne tuhé teleso je definované ako teleso z pevnej látky, ktorého tvar a objem zostávajú nemenné aj pri pôsobení vonkajších síl. Pôsobením vonkajšej sily sa takéto teleso môže začať posúvať alebo otáčať.
Tuhé teleso je ideálne teleso, ktorého tvar a objem sa účinkom vonkajších síl nemení. Vonkajšie sily spôsobujú zmenu pohybového stavu tuhého telesa. Pohyb telesa môže byť:
Guľa alebo presnejšie uzavretá guľa je množina všetkých bodov euklidovského priestoru, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (t.j. od tzv. stredu gule) nie je väčšia ako pevné reálne kladné číslo (t.j. ako tzv. polomer gule). Množina spomínaných bodov, ktorých vzdialenosť od pevného bodu je práve rovná spomínanému pevnému reálnemu kladnému číslu, sa volá guľová plocha (iné názvy: hranica gule, sféra, sférická plocha).
Uzavretá guľa je teda inými slovami priestorové teleso "ukončené" guľovou plochou. Otvorená guľa alebo vnútro gule je uzavretá guľa bez guľovej plochy. V topológii znamená n-rozmerná guľa topologický priestor, ktorý je homeomorfný s n-rozmernou guľou v euklidovskom priestore.
Povrch n-rozmernej gule tvorí (n-1)-rozmernú sféru.
Pre guľu je moment zotrvačnosti vyjadrený vzorcom:
J = 2⁄5 m . r2
Kde:
- J - moment zotrvačnosti
- m - hmotnosť gule
- r - polomer gule
| Teleso | Moment zotrvačnosti (J) |
|---|---|
| Guľa | 2⁄5 m . r2 |
| Tyč (okolo stredu) | 1⁄12 m . l2 |
| Kotúč (okolo stredu) | ½ m . r2 |
Pre lepšie pochopenie momentu zotrvačnosti uvádzame príklady pre iné telesá:
- Pre tyč je moment zotrvačnosti J = m . r2 (pri otáčaní okolo jedného konca)
- Pre kotúč je moment zotrvačnosti J = ½ m . r2
Otáčavý účinok sily na teleso závisí od:
- Veľkosti pôsobiacej sily
- Ramena sily
Rameno sily je kolmá vzdialenosť vektorovej priamky sily od osi otáčania. Otáčavý účinok sily na teleso opisuje fyzikálna veličina moment sily vzhľadom na os otáčania (M). Matematicky sa moment sily vyjadruje ako M = F . r.
V kontexte stability telesa platí, že teleso je tým stabilnejšie, čím väčšiu prácu treba vykonať na preklopenie telesa z rovnovážnej polohy stálej do vratkej. To znamená, že teleso je stabilnejšie, čím nižšie má ťažisko. Práca potrebná na preklopenie telesa sa dá vypočítať ako W = Fg . h = m . g . h.
Rovnovážne polohy tuhého telesa môžu byť:
- Stála
- Voľná (indiferentná)
- Vratká (labilná)
Stála rovnovážna poloha nastáva, keď je ťažisko telesa najnižšie, čo zodpovedá najnižšej potenciálnej energii. Voľná rovnovážna poloha nastáva, keď je teleso zavesené v ťažisku a os otáčania prechádza ťažiskom. V tejto polohe sa výška ťažiska nemení, a teda ani potenciálna energia.
tags: #moment #zotrvacnosti #gula